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⑴终边在x轴上的非负半轴上的角：α=k2360°，k∈Z
⑵终边在x轴上的非正半轴上的角：α=180°+k2360°，k∈Z⑶终边在x轴上的角：α=k2180°，k∈Z
⑷终边在y轴上的角：α=90°+k2180°，k∈Z⑸终边在坐标轴上的角：α=k290°，k∈Z
⑹终边在y=x上的角：α=45°+k2180°，k∈Z
⑺终边在y=-x上的角：α=-45°+k2180°，k∈Z或α=135°+k2180°，k∈Z⑻终边在坐标轴或四象限角平分线上的角：α=k245°，k∈Z
4、弧度：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。5.6.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α相关公式7.角度制与弧度制的换算8.单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。
9、利用单位圆定义任意角的三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)那么：⑴y叫做α的正弦，记作sinα即⑵x叫做α的余弦，记作cosα⑶
y叫做α的正切，记作tanαx22
10.sincos1sin;cos
同角三角函数的基本关系α≠kπ+
11、三角函数的诱导公式：
πnis(k∈Z)】：ant2cos
公sink2sin式cosk2cos一tank2tan【注】其中kZ
公sinsin公sinsin式cos
cos
式coscos
公sinsin式coscos四tantan
公sincos
2
公sinsco
2
式cossin式cosnsi
22
五tancot
2
六tantco
2
注意：ysinx周期为2π；y|sinx|周期为π；y|sinxk|周期为2π；ysin|x|不是周期函数。
13、得到函数yAsin(x)图像的方法:
y=sin（x+）ysin(x)y①y=sinx
周期变换
向左或向右平移||个单位
平移变换周期变换振幅变换
Asin(x)
②y=sinxysinxysin(x)yAsin(x)14.简谐运动
①解析式：yAsin（x)，x[0,+）②振幅：A就是这个简谐运动的振幅。③周期：T④频率：f=
振幅变换
2π
1
T2π
⑤相位和初相：x称为相位，x=0时的相位称为初相。
cs1.两角和的余弦公式【简记C（α+β）】：oos2.两角差的余弦公式【简记C（α-β）】：c
csocsnisniso
coscosnisnis
3、两角和(差)余弦公式的公式特征：①左加号，右减号。②同名函数之积的和与差。③α、β叫单角，α±β
叫复角，通过单角的正、余弦求和(差)的余弦值。④“正用”、“逆用”、“变用”
is4.两角和的正弦公式【简记S（α+β）】：nis5.两角差的正弦公式【简记S（α-β）】：n
isoscosnisnc
nisoscosnisc
6、两角和(差)正弦公式的公式特征及用途：①左右运算符号相同。②右方是异名函数之积的和与差，且正弦值
一)两角和差公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA?
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
二)用以上公式可推出下列二倍角公式
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2
sin2A=2sinA*cosA
三)半角的只需记住这个：
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)
四)用二倍角中的余弦可推出降幂公式
(sinA)^2=(1-cos2A)/2
(cosA)^2=(1+cos2A)/2
五)用以上降幂公式可推出以下常用的化简公式
1-cosA=sin^(A/2)*2
1-sinA=cos^(A/2)*2
1、向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量。数量：我们把只有大小没有方向的量称为数量。2.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。有向线段三要素：起点、方向、长度。
3、向量的长度（模)：向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或称模），记作|AB|。
4、零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的。
单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。
5、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若向量a、b是两个平行向量，那么通常记作a∥b。
平行向量也叫做共线向量。我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任一向量a，都有0∥a。
6、相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量a、b是两个相等向量，那么通常记作a=b。
BC=b，b，7.如图，已知非零向量a、在平面内任取一点A，作AB=a，则向量AC叫做a与b的和，记作ab，
即abABBCAC。
向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则。
8、对于零向量与任一向量a，我们规定：a+0=0+a=a
9、公式及运算定律：①A1A2+A2A3+。.。+AnA1=0②|a+b|≤|a|+|b|
(a+b)+ca(b+c)③a+bba④
10、相反向量：①我们规定，与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a。a和-a互为相反向
量。
②我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。
③任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a)（=-a）+a=0。
④如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，ab=0。
⑤我们定义a-b=a+，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。(-b)
11、向量的数乘：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘。记作a，它的
长度与方向规定如下：①|a|a|②当λ>0时，a的方向与a的方向相同；当λ<0时，的方向与a的
方向相反；λ=0时，a=0
（a)(）a12.运算定律：①
②()aaa
③(ab)=ab
（)a(a）(a)(ab)=ab④⑤
13、定理：对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b=a，那么a与b共线。相反，已知向量a与b
共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=a;当a
与b反方向时，有b=a。则得如下定理：向量向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有一个实数λ，使b=a。
14、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且
只有一对实数1、2，使a1e12e2。我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基
底。
15、向量a与b的夹角：已知两个非零向量a和b。作OAa，OBb，则AOB（0°≤θ≤180°）叫
做向量a与b的夹角。当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向。如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作ab。
16、补充结论：已知向量a、b是两个不共线的两个向量，且m、n∈R，若manb0，则m=n=0。
17、正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
18、两个向量和（差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差）。即若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则
ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)
19、实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。即若a(x1,y1)，则a(x1,y1)
20、当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a、b(b≠0)共线
x1x2y1y2
21、定比分点坐标公式：当P1PPP2时，P点坐标为(，)
11
①当点P在线段P1P2上时，点P叫线段P1P2的内分点，λ>0②当点P在线段P1P2的延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，λ<-1;当点P在线段P1P2的反向延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，-1<λ<0.22.从一点引出三个向量，且三个向量的终点共线，
B
则OCOAOB，其中λ+μ=1
23、数量积（内积）：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作a2b即a2b=|a||b|cos。其中θ是a与b的夹角，
|a|cos（|b|cos）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。我们规定，零向量与任一向量的数量
积为0。
24.a2b的几何意义：数量积a2b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积。
25、数量积的运算定律：①a2b=b2a②（λa）2b=λ(a2b)=a2（λb）③(a+b)2c=a2c+b2c22222222④(ab)a2abb⑤(ab)a2abb⑥(ab)(ab)ab
26、两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即abx1x2y1y2。则：
22
2
①若a(x,y)，则|a|xy，或|a|。如果表示向量a的有向线段的起点和中点的坐标分别为(x2x1，y2y1)
(x1，y1)(x2，y2)、，那么a，|a|
(x1，y1)(x2，y2)②设a，b，则abx1x2y1y20ab0
(x1，y1)(x2，y2)27.设a、b都是非零向量，a，b，θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表
ab
示可得：cos
|a||b| 高一数学必修一,四知识点总结
高一数学必修一,四知识点总结
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高一数学必修一,四知识点总结
高中高一数学必修1各章知识点总结
第一章会集与函数看法
一、会集相关看法
1、会集的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个会集，此中每一个对象叫元素
2、会集的中元素的三个特征：
1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性
说明：(1)关于一个给定的会集，会集中的元素是确立的，任何一个对象也许是也许不是这个给定的会集的元素。
(2)任何一个给定的会集中，任何两个元素都是不一样的对象，相同的对象纳入一个会集时，仅算一个元素。
(3)会集中的元素是相同的，没有先后序次，所以判断两个会集能否相同，仅需比较它们的元素能否相同，不需观察摆列序次能否相同。
(4会集元素的三个特征使会集自己拥有了确立性和整体性。
3、会集的表示：{}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
用拉丁字母表示会集：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
．会集的表示方法：列举法与描述法。注意啊：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：N
正整数集N*或N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
关于“属于”的看法
会集的元素平时用小写的拉丁字母表示，如：a是会集A的元素，就说a属于会集A记作a∈A，
相反，a不属于会集A记作aA
列举法：把会集中的元素一一列举出来，而后用一个大括号括上。
描述法：将会集中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示会集的方法。用确立的条件表
示某些对象能否属于这个会集的方法。
语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{xR|x-3>2}或{x|x-3>2}4、会集的分类：
1．有限集含有有限个元素的会集
2．无穷集含有无穷个元素的会集
3．空集不含任何元素的会集例：{x|x2=－5｝
二、会集间的基本关系
“包括”关系—子集
注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一会集。
反之:会集A不包括于会集B,或会集B不包括会集A,记作AB或BA
2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”
结论：关于两个会集A与B，假如会集A的任何一个元素都是会集B的元素，同时,会集B的任何一个元素都是会集A的元素，我们就说会集A等于会集B，即：A=B
①任何一个会集是它自己的子集。AA
②真子集:假如AB,且A≠B那就说会集A是会集B的真子集，记作AB(或BA)
③假如AB,BC,那么AC
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④假如AB同时BA那么A=B
不含任何元素的会集叫做空集，记为Φ
规定:空集是任何会集的子集，空集是任何非空会集的真子集。
三、会集的运算
1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所构成的会集,叫做A,B的交集．
记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义：一般地，由所有属于会集A或属于会集B的元素所构成的会集，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．
3、交集与并集的性质：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,
A∪φ=A,A∪B=B∪A.
4、全集与补集
（1）补集：设S是一个会集，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素构成的会集，叫做S中子集A的补集（或余集）
记作：A即A={x|x∈S且xA}
（2）全集：假如会集S含有我们所要研究的各个会集的所有元素，这个会集就可以看作一个全集。平时用U来表示。
（3）性质：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ
二、函数的相关看法
函数的看法：设A、B是非空的数集，假如依照某个确立的对应关系f，使关于会集A中的任意一个数x，在会集B中都有独一确立的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从会集A到会集B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．此中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的会集{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
注意：2假如只给出分析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的会集；3函数的定义域、值域要写成会集或区间的形式．
定义域增补
能使函数式有意义的实数x的会集称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依照是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数一定大于零；(4)
指数、对数式的底一定大于零且不等于1.(5)假如函数是由一些基本函数经过四则运算结合而成的.
那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值构成的会集.（6）指数为零底不可以等于零( 我觉得我很有必要回答一下这个问题
我学理，高一数学49，我最后高考考了一百一十几还是多少（那年高考数学巨难，数学课代表考了80+）
很多人都以为我上不了一本了，估计二本都难，我们高中是省重点高中，一年一本率得有85%，600分以上的多的时候有四五百，少的时候也有两三百。
但是嘛，别人认为我考不上，那是他们认为，又不是我认为，最重要的是不要放弃自己。如果学习不好想要提升，慢慢来，每一次考试考的不好那是好事，把考试当作是一次检测知识漏洞的检查而已，每次考试都会暴露问题，不要忘了你的最终目的是高考，高中三年你唯一需要在意分数的一次考试就只有高考，其他考试都只是暴露问题的过程，不要太在意考了多少分。把重心放在这次考试我又学到了什么，而不是这次考试我又得了多少分。
心态摆好就要付诸实践，也不能盲目做题。错题本很重要很重要很重要！！！！错一题发现这类题不会就可以找辅导资料练专项，五三yyds（我认为辅导资料可以多买点，不是为了全部做完，是为了练习不会的那一类题，每本辅导资料上的方法都不一样，好好利用资料和答案，效果会双倍噢）
刚高一嘛，跟着老师学着走，以前不会的抽空搞懂，现在开始，每一个知识点都不放过
上课前预习，带问题上课，下课就做老师布置的作业，自己可以买点资料做做（再次重申五三yyds）不会的做错的就记在错题本上，方法类似的记一片。
学会总结，我们以前老师会给我们总结，老师不总结自己也可以总结，比如当时我们上数列，老师给我们总结了13还是15种方法，后面几乎遇到数列就没卡过，再难都逃不过那几种方法。
定期复习，复习什么呢？错题本，复习做题思路，复习总结的方法，复习基础概念，还有一些平时上课老师随口说的tips，老师平时可能随口一说，有的时候保命的噢。还有答案上有些解析，一小句，但是就是让你搞懂整个题最重要的一小点。平时多看看解析，不要看你对没对，看解析看解析看解析！！！
好吧，先说这么多，该复习六级了，下午去体验一把真题，12月再战！祝我好运！
我高二上期末考40分，复读了一年，今年高考估分120+，坐标浙江。
几个小招：
1、吃透所有基础概念。注意是吃透而不是把概念背下来，要能用自己的语言复述。
2、听课听思路。不建议将老师的板书一字不落抄下来，浪费思考的时间。上课时重点听和思考每一步从哪里来，由哪一个条件推出。可以将关键步骤记在草稿纸上，课后整理。
3、课后不看笔记重写例题。一定不能看笔记！重写是一个重新梳理思路的过程，也是一个规范答题格式和步骤的过程。
4、刷题。先专题突破后整卷，把基础题刷好再一步一步加大难度。不要把答案放在旁边边刷边看，那样没用。
5、错题重复刷。把原来做的过程盖掉写。隔几天写一遍，写到全对为止。
6、树立信心！！！要相信自己目前数学不行不是因为自己没那个脑子学它，不要怕它。稳扎稳打，两年以后你说不定130+
最后，愿你一路上行，脚着谢公屐，身登青云梯！
我高一数学第一次考试68，也没有多励志，高考也就只考了107，别怕，刚来或多或少都会有些打击。或许是不甘心数学的落差，也或许是对数学的兴趣，剩下的时间里付出肯定是少不了的，坚持真的很重要
我也没什么好办法，只能说是小建议:
1、浏览例题，侧重概念。提前预习也没那么多时间，毕竟要学的科目很多，这样的话利用好课前两分钟大概过一遍例题，心里有个谱，上课能专注些
2、多看多听多写。发呆，开小差是特别容易犯困的，这个时候如果注意力很难集中，就尝试涂涂画画，两到三分钟的时间自行娱乐一下（可以在书本上画一个没有头的小人，然后把老师的头“安上去” ）
3、好题归纳。这个很重要，很多人都没有这个习惯，当然我之前也没有，直到我看到我同桌短时间内从70多分到120多分，我才明白好题归纳的重要性 区别于错题归纳，好题是指的是包容性强的题，能覆盖多个知识点的题型，不是一定要抄到小本本上，我觉得只要是纸都可以裁剪（如果前后都有题，你可以借一下同学的嘛，一两吧辣条的事 ）
️4、不要过多刷题，不懂就要问老师！用我们班主任的话:“你们能做在一个教室，是因为缘分吗，不，是因为你们傻到了一起！一个敢讲一个敢听，咋滴'英雄相惜'啊！” 现在的你，题不在多而在精，弄懂一道题的效果不必做五道题的赶紧差，这个阶段我基本上没买过什么课外的习题资料，光学校发来做的都够呛，加上课堂随机练周考月考大考的卷子，能搞懂大部分已经可以了，别给自己太大压力, 后期学校的系统性复习才是重点！
5、善意的谎言。如果你对数学（当然或者是其他科）的兴趣不大，导致你在学业上的懈怠，不妨骗骗自己，告诉自己它爱你，你爱它……（有点油腻）但是一段时间的心理暗示和强行听课，你会发现这个学科也有它可爱的地方（别问我怎么知道 ）
6、生活明朗，万物可爱。再好鲜花阳光都抵不过积极乐观的少年。
还有救，不过任何进步，老师都是外因，努力还得靠自己。
作为老师，能帮助你的是教授你正确的学习方法：
首先我先阐述一下目前同学们在数学学习过程中存在的问题：
1. 基础（定义，定理）不扎实
我当年学数学的时候，没有这个毛病。但随着我接触的孩子越来越多，我发现很多孩子很努力，但是根本不会学习，尤其是不会仔细体会和品味这些理科的概念。
他们很努力，拼命刷题，但仍然对这些概念一知半解。甚至还有同学质疑，说“不用掌握概念我也可以做题”。
是的，你的确可以做一部分题，但题目一变，你就完蛋。来看看下面例子：
很多同学这题做不出来。我结合数学三招来解答：
首先，解决数学问题，我们不喜欢中文，要“翻译”为数学语言，例如画张图（几何语言）
因此这道题的第一问一点都不难，如果你对于椭圆的定义不熟悉，你即使会数学思维“翻译”，知道要把中文翻译为数学语言，你也无从下手！
请记住：如果说数学思维就像是成为米其林三星大厨需要具备的手艺的话，那么基础知识就是备菜。巧妇难为无米之炊，如果你的米没有洗好，肉没有切好，锅没有洗干净，你的技艺再高超，也不可能做好一道菜。
那基础概念应该如何学习呢？精读
其实数学也好，科学（物理，化学等）也罢和诗歌是非常相似的，都是在试图用最精炼的语言表达：数学/科学是刻画我们所处的外在环境-大自然的万千现象，诗歌是刻画我们的内心复杂的感情。
因此这样的东西是没有一个字是多余的。一定要精读，一个词一个词的理解，不要像小说一样的去泛读。
例如，我们刚刚讲了什么叫做椭圆，那你别急着看下文，思考一下什么叫做双曲线？
很多人的回答是：“到两定点的距离之差等于定长的点的集合”，很遗憾这是错的。
正确的答案是：“到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的集合（两定点线段长>这个绝对值>0）”，没有了“绝对值”三个字，得出来的是双曲线的一个分支。
如果我是高考命题人，我可以轻松出一道题目，就考这个基本概念，我估计又会“死掉”一大片。
学习物理又何尝不是如此？例如什么叫摩擦力？
同学们要学会精读，并且理解这些定义和概念。你们高中课本的定义是这样写的：
阻碍物体相对运动（或相对运动趋势）的力叫做摩擦力。
我们来一点一点的理解：
一个力是向量，因此你必须说清楚其大小和方向
首先是方向，摩擦力既然是”阻碍”，因此其方向是和相对运动方向相反的，也就是说和速度(以接触的物体作为参照物）方向相反！那么什么叫做相对运动趋势？即，假如没有摩擦力，这个物体会如何动（以接触的物体作为参照物）？摩擦力的方向就和这个运动方向相反。
例如一个往前移动的传送带上的物体（物体跟着传送带运动），为什么摩擦力方向是向前的？
这里就要求你对“相对运动趋势”理解深刻。如果没有摩擦力（绝对光滑），传送带上的物体将保持静止。那么相对于传送带（以传送带作为参照物），其运动方向是向后的，这就是相对运动方向。因此摩擦力应该和这个方向相反。
那么大小呢？分为静摩擦和动摩擦两种，静摩擦用受力平衡来确定，而动摩擦力的大小=
这样不就十分清楚了？以后遇到任何关于摩擦力的问题，你都可以轻松的利用上面的定义“翻译”为物理中力的语言（物理模型），而后翻译为数学语言，解之，即可。费曼学习法
现阶段，不要求大家使用类比等思维方式深层次地理解每一个概念背后的逻辑，然后表达得连一个小学生也听得懂。
你只需要这样做：
用自己的话，把这个概念或者定理复述一遍。然后利用微信录音，QQ录音等录下来，之后对比你讲的和教科书上的内容。
如果一致，那么就说明你懂了，如果不一致，或者说不清楚，说不出来，那么不好意思，你这个概念掌握得比较差。
我非常相信王阳明先生的“知行合一”四个字，知而不行就是未知。
在你运用这些概念之前，最起码的“行”就是能够说得出来，连说都说不出来，谈什么知呢？
这也是用来自我检验基础概念的极佳方法。
例如你自己问自己，高中阶段证明线面垂直至少可以有5个不同的定理，你能很快把他们说出来吗？如果不能，你就知道你的立体几何的基础不够扎实。所有说不用复习基础就可以提分的都是骗子
有一部分不负责任的人，为了赚钱，弄出一堆什么“模板”“秒杀”，并宣称“不用复习基础就会做题”。听起来特别牛，其实害人不浅。
首先，从逻辑上来说，你的思维方式再高明，你可能在两个小时内倒推数学家几百年确定的各种定义和定理吗？
再者，这类模板秒杀我们金融上叫做“curve fitting”。
他的模板只适合他精心挑选的一小类题目，题目一改，就阵亡。
在高考题越来越灵活的今天，靠这些垃圾，考试如何能够提高？未来更是误人终生！
记住：天上不会掉馅饼，如果掉了，注意是骗局。
2. 不掐着时间做题
考试，无论你喜欢还是不喜欢，最大的特点就是有时间限制。
因此，一个能拿高分的人一定是简单的题目做得又快又对，这样他/她才有时间思考难题。
因此，平常练习就应该掐着时间做。例如选择填空题就尽量不要超5分钟。如果超过了，就把它当做是错题 – 运用数学三招思考，还有更加简单的方法吗 （例如特殊化）？我能总结什么模式？我需要记忆什么快速解答的公式吗？
另外这样练习也让你十分熟悉考试的压力和紧张感。真正考试的时候就不容易发挥失常。
3. 不会从错误中学习
我先定义以下什么是错题：做错的题（包括3中：粗心，概念不清，以及逻辑问题，这三者一定要严格区分开来）不会做的题做得慢，没有在规定时间做完的题
都是你的错题。
很多同学遇到错题，就扫一遍答案，看懂了，然后？然后就没有然后了。
这样的学习，恕我直言，你是在浪费题目和时间！这样日积月累，你表面上很努力，不过只是在重复做无用功罢了。
记住：错误是一个人最大的学习之源！
我的一生最重要的原则，方法都是从错误（自己的+别人的）中学来的。正如孟子所言，闻过而喜。（我现在还没有达到他的程度，出现问题我往往还是比较不爽的，达不到“喜”的程度）
那么如何从错误中学习呢？我总结了以下反馈环
遇到错误，首先的就是要找原因。
例如，我的答案错了，是为什么？粗心，概念不清，还是逻辑不清？
例如有的同学在变换：
直接写：
这不是粗心，而是逻辑不清。你没有意识到你的变换不是充要变换，因为你舍去了一个限制条件（ ），因此会出现增根。
扩而广之，你要知道，天下间所有的题目只有两类，判断题（包括证明题）和求解题。
而求解题是求满足某个条件的某未知数的取值范围。必须是这个条件的充要变化才无增根，无失根，是完美的解。如果你转化为其必要条件，例如上面的变化，那就记得要检验。
这样，你对这个错误才真正学到东西了！
那么做不出来，做得慢呢？
记住，看懂答案为什么是对的远远不够，关键是你要弄清楚下一次你要如何想，才能把这道题又快又对地做出来 – 即解题思维是什么
这个思维就是我提到的数学哲学和数学三招。 有的同学学了，还是解不出题目，你就要思考：是不是我对数学三招的理解不够？首先我能用自己的话把数学三招说出来吗？我有什么技巧没有掌握？
我用下面的例子具体来说明吧：
很多同学做不出这道题。注意，做不出来也是错题！
然后他们去看答案，答案看懂了，就没有然后了。这对你解题有意义吗？一点意义也没有。
关键是未来如何思考才能解决这样的问题，思路在哪里。
这题背后的思路就是我们的第二招，特殊化。
原则：证伪比证明容易得多（因为只需要找到一个反例即可）。
因此对于选择题，很多时候我们可以用特殊的例子证伪三个选项，虽然我们没有证明最后的选项是正确的，但只要这道题不是错题，我们就可以选择了。这是特殊化的一个运用。
对于这题来说，我希望找到符合前面绝对值不等式的 但和后面 矛盾的特殊值，怎么办？
首先，要和后面矛盾，一个临界值就是10，因为若 中其中有一个是10，后面的不等式就错了。这个就是我们的入手点。（技巧：特殊化的时候优先从极端，特殊的开始）
对于A,代入 ，发现 和其是对称的，因此我们也取 （这又是一个技巧，对称时候我们往往可以从相等的数开始，因为极端，特殊），然后取 就成功找到反例了。
对于B，代入 ，为了使得绝对值中很小，取 即可，又找到反例了
对于C，取 即可推翻
因此答案是D，我们无需在D上面浪费哪怕一秒钟。
从这道题你就学会了特殊化思维中的很多技巧。这样，每一题对你来说都有所得，然后你再在下一题中检验你的所得，很快，你的水平不就直线上升了？
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原文地址：http://www.wisdombay.com.cn/post/953.html发布于：2025-11-12
