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集合是高中数学中最基本的概念,它已经简单到高考数学的第一道题.集合不能用更简单的概念来定义,但我们可以通过例子对这个概念加以说明.例如,自然数的全体、一个学校的全体学生等,都是集合.一般地,具有某种确定性质的对象的全体称为 集合 或简称为: 集 ,其中的对象称为集合的 元素 ,通常用大写拉丁字母 A , B , M 等表示集合,而用小写拉丁字母 a , b , m 等表示集合的元素.若 a 是 A 的元素,则记作 a ∈ A (读作 a 属于 A );若 a 不是 A 的元素,则记作 a ∉ A (读作 a 不属于 A ). 集合的表示方法一般有两种,一种是 列举法 ,就是按任意顺序不重复地列出集合的所有元素,并用花括号「{ }」括起来.例如,方程 x 2 -4=0 的根所组成的集合 S ,可表示为 S ={-2,2}.还有一种是 描述法 ,它的一般形式是A ={ x | x 具有性质 P },其中 P 是关于 x 的某个性质,意思是: x ∈ A 的充要条件是 x 不满足性质 P .例如,全体偶数的集合 B ,可表示为B ={ x | x =2 n , n 为整数}. 由某些数组成的集合称为 数集 .例如,全体自然数组成 自然数集 ,常用符号 N 表示;全体正整数组成 正整数集 ,常用符号 N + 表示;全体整数组成 整数集 ,常用符号 Z 表示;全体有理数组成 有理数集 ,常用符号 Q 表示;全体实数组成 实数集 ,常用符号 R 表示;等等.如果集合 A 的元素都是集合 B 的元素,即若 x ∈ A ,则有 x ∈ B ,就说集合 A 是集合 B 的子集,记作 A ⊂ B (读作 A 包含于 B ),或 B ⊃ A (读作 B 包含 A ).如果 A ⊂ B ,且 B ⊂ A ,就说集合 A 与集合 B 相等 ,记作 A = B .不包含任何元素的集合称为 空集 ,记作 Ø.例如,集合{ x | x ∈ R , x 2 =-1}是空集.数集是一个常用的集合,即集合中的元素都是数.如果没有特别说明,本文章用到的数均指实数. 区间是表示实数集合的一种常用形式.区间根据长度可以分为两大类:有限区间和无限区间(无穷区间).设 a , b 为两个实数,且 a < b .我们定义区间如下:( a , b )={ x | a < x < b }为 开区间 ,[ a , b ]={ x | a ≤ x ≤ b }为 闭区间 。 类似地,定义半开半闭区间:( a , b ]={ x | a < x ≤ b }和[ a , b )={ x | a ≤ x < b },称 a , b 为区间的端点, b - a 为区间的长度.由此可知,以上区间的长度都为有限数,称它们为 有限区间 .我们还定义了 无穷区间: (-∞, b ]={ x | x ≤ b }(-∞, b )={ x | x < b }[ a ,+∞)={ x | x ≥ a }( a ,+∞)={ x | x > a }R =(-∞,+∞) 有些偏远地区的教材没有提到邻域这个概念,但人教版的教材给出了邻域的定义: 设 a 与 δ 是两个实数,且 δ >0,称开区间( a - δ , a + δ )为点 a 的 δ 邻域,记作U ( a , δ )=( a - δ , a + δ )={ x | a - δ < x < a + δ }={ x | x - a < δ },即到点 a 的距离小于 δ 的点的集合,简称点 a 的 邻域 .其中 a 为该邻域的中心, δ 为该邻域的半径 在 U ( a , δ )中去掉中心点 a ,得到的集合称为点 a 的 去心邻域 . 由于我们地区用的是科教版的教材,所以我要用到科教版数学教材对于函数的定义:设非空数集 D ⊂ R , f 是一个由 D 到 R 的对应法则.若对于任一 x ∈ D ,在 f 的作用下都有唯一一个确定实数 y 与之相对应,则称 f 为 D 上的一个函数,称 y 为 f 在点 x 处的函数值,记作 y = f ( x ).函数 f 可以表示为f : D → R , x → y ,其中 x 称为 自变量 , y 称为 因变量 .自变量 x 取值的全体即数集 D 称为函数 f 的 定义域 ,记作 D ( f )或 D f .函数值的全体称为 f 的 值域 ,记作 R ( f )或 R f ,也可记作 f ( D ),即R ( f )= f ( D )={ f ( x ) x ∈ D }. 由上述定义可以看出,严格意义上, f 和 f ( x )的含义是不同的. f 表示由自变量 x 确定因变量 y 的对应法则即函数关系,而 f ( x )则表示与自变量 x 对应的函数值.但是为了叙述方便,常将函数简单地表示为 y = f ( x )( x ∈ D ).对于函数 y = f ( x )( x ∈ D ),任一 x ∈ D 都有唯一 y = f ( x )与之相对应,从而可产生有序数组( x , y )对应于平面内的一点 P ( x , y ).称点集{( x , y ) y = f ( x ), x ∈ D }形成的轨迹为函数 y = f ( x )( x ∈ D )的图像 。 通常用英文字母 f , g , h ,…, F , G ,…和希腊字母 φ , ψ ,…, Φ , Ψ ,…作为函数的记号.确定函数的两个要素是定义域和对应法则.换言之,一个函数由定义域和对应法则完全确定,而与变量的记号无关.例如, s =π r 2 ( r >0)与 y =π x 2 ( x >0)表达的是同一个函数关系;而 y =π x 2 ( x >0)与 y =π x 2 ( x ∈ R )则是两个不同的函数,因为两者的定义域不同. 由于科教版的教材在函数的概念讲完之后就给出了分段函数的定义,因此我在这里顺便给出分段函数的定义:在实际应用中,常遇到这样一类函数:在自变量的变化过程中,在不同区域上,对应法则不同,因而函数表达式也不同,将这种函数称为: 分段函数 . 对于分段函数,应注意到:虽然在自变量的不同变化范围内,计算函数值的表达式不同,但这些表达式定义的是一个函数,这个函数的定义域是各个不同表达式所对应的 x 值的并集.在计算某个函数值时,要先判断自变量的值在哪个表达式所对应的范围内,再按该表达式求值. 函数作为一种数学元素,也可以作加减乘除四则运算.设有函数 f ( x )和 g ( x ),它们的定义域分别是 D 1 、 D 2 ,且 D = D 1 ∩ D 2 ≠Ø,我们可以定义这两个函数的下列运算.和与差 f ± g :( f ± g )( x )= f ( x )± g ( x ), x ∈ D .积 f • g :( f • g )( x )= f ( x )• g ( x ), x ∈ D .商 , x ∈{ x | x ∈ D 且 g ( x )≠0}. 定义:设函数 f ( x )的定义域为 D ,区间 I ⊂ D .如果对于区间 I 上任意两点 x 1 和 x 2 ,当 x 1 < x 2 时,恒有 f ( x 1 )< f ( x 2 )(见图 1-8),则称函数 f ( x )在区间 I 上是 单调增加 的;如果对于区间 I 上任意两点 x 1 和 x 2 ,当 x 1 < x 2 时,恒有 f ( x 1 )> f ( x 2 )(见图 1-9),则称函数 f ( x )在区间 I 上是 单调减少 的.单调增加和单调减少的函数统称 单调函数 ,使函数单调的区间称为函数的单调区间. 函数的单调性不仅和函数表达式有关,也和定义区间有关.一般地,如果函数在整个定义域内不单调,我们可以将定义域分成多个子区间,使函数在各个子区间内单调.例如,函数 y = x 2 在整个定义域(-∞,+∞)内不是单调的,但是在定义域的子区间(-∞,0)上单调减少,而在(0,+∞)上是单调增加的. 定义 : 设函数 f ( x )的定义域为 D ,其中 D 关于原点对称,即当 x ∈ D 时,有- x ∈ D .如果对于任一 x ∈ D ,恒有 f (- x )= f ( x )成立,则称 f ( x )为 偶函数 .如果对于任一 x ∈ D ,恒有 f (- x )=- f ( x )成立,则称 f ( x )为 奇函数 .例如,函数 y = x 2 与 y =cos x 都是偶函数,函数 y =sin x 与函数 y = x 3 都是奇函数,而函数 y = x 2 + x 是非奇非偶函数.从定义中可以看出,只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性.显然,偶函数的图形关于 y 轴对称,而奇函数的图形关于原点对称故 g ( x )为偶函数, h ( x )为奇函数.注意到f ( x )= g ( x )+ h ( x ),从而命题得证. 定义 : 设函数 f ( x )的定义域为 D .如果存在一个正数 T ,使得对于任一 x ∈ D 均有( x ± T )∈ D ,且恒有等式f ( x + T )= f ( x )成立,则称函数 f ( x )为 周期函数 ,正数 T 称为函数 f ( x )的 周期 .例如,函数 y =sin x , y =cos x 都是周期为 2π 的周期函数,而 y =tan x 是以 π 为周期的周期函数.周期函数在每个长度为一个周期的区间上都有相同的形状,自然地,也有相同的单调性等特性.如果正数 T 是周期函数的周期,那么 T 的正整数倍也是这个函数的周期,即周期函数的周期不唯一.通常我们所说的周期是指函数的最小正周期 ,即满足上述等式的最小正数.另外需要指出的是,并不是所有的周期函数都具有最小正周期,比如狄里克雷函数.高中数学必修一知识梳理的介绍就聊到这里吧,感谢你花时间阅读本站内容,更多关于则称函数 f ( x )为 周期函数、高中数学必修一知识梳理的信息别忘了在本站进行查找喔。
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原文地址:http://www.wisdombay.com.cn/post/1288.html发布于:2025-11-14




